Unidades del Temario
Unidad 1: Numeros Reales
1.1-. La recta numerica.
Una recta numérica representada por dos flechas en los extremos, es una recta infinitamente larga y es una parte esencial de las matemáticas básicas. Los puntos en una recta numérica corresponden a un número real específico. Todos los puntos están marcados a una distancia específica del origen que es 0, el cual puede ser elegido arbitrariamente. La recta numérica es una herramienta muy útil para entender los conceptos de números enteros con signo y números reales, así como su suma y resta. A partir del origen en la recta numérica, los números siguen aumentando en magnitud hacia la derecha, mientras que se mantienen disminuyendo en magnitud en la dirección opuesta, que es representado por el símbolo negativo. Todos los números en la recta numérica poseen una distancia absoluta desde el origen de la recta, lo que significa que tienen una diferencia absoluta desde el valor cero. El orden en que se coloca el número en la recta juega un papel importante en la determinación de su magnitud con relación a otros números sobre la recta. Por lo general los números enteros están marcados claramente en la recta, y están igualmente espaciados uno del otro, sin embargo esto no siempre es así y por lo general, varía por requerimiento. Las dos mitades simétricas, que son los números positivos y números negativos respectivamente, hacen el concepto de números positivos y números negativos bastante claro. También explica que cada número positivo tiene su opuesto negativo en la otra mitad. La distancia entre los dos opuestos es igual desde el origen de la recta numérica, que es desde el cero, lo que deja claro que son de igual magnitud en las direcciones respectivas. Esto también da base al hecho de que todos los números en la recta numérica tienen un valor absoluto. Para saber el valor absoluto de un número, se utiliza el símbolo| |. Por poner un ejemplo, el valor absoluto de −3 sería | −3 | = 3. Ya que el valor absoluto viene a ser una distancia y la distancia nunca puede ser negativa, por tanto el valor absoluto de cada número, sea positivo o negativo, siempre es positivo. Generalmente la recta numérica se dibuja horizontalmente, incluyendo todos los tipos de números reales, tales como números enteros, números naturales, números racionales, números irracionales, etc. Pero también puede ser usado para representar un conjunto complejo / números imaginarios. Una recta numérica representando tal conjunto de números es trazada verticalmente, pasando por el origen. En un ángulo de 900 desde la recta numérica de los números reales. No hay elementos mínimos o máximos en una recta numérica, los números racionales forman un subconjunto grande y denso de la recta de los números enteros. De acuerdo con estas dos propiedades de la recta numérica, se puede concluir que una recta numérica es isomorfa a una recta real. Aparte de esto, la recta numérica también cumple la condición de cadena contable, la cual establece que “Cada conjunto de intervalos abiertos no vacíos y mutuamente divisibles entre sí en la recta numérica es contable”. El concepto de recta numérica se puede entender mejor con la ayuda de un ejemplo. Suponga que la respuesta de la ecuación (x +7) = 10 se va a encontrar utilizando la recta numérica. Entonces,
Este cálculo se puede realizar considerando la distancia entre 10 y 7Entonces, la respuesta es 3 dado que 10 está 3 pasos delante del 7.VIDEOS
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1.2-. Los numeros reales.
Los números que pueden representarse por notación decimal se llaman números reales. En palabras más simples, todos esos números que perduran son reales.Cada tipo de número encaja en el conjunto de los números reales.Este conjunto incluye, básicamente, los números naturales, números enteros, números racionales e irracionales.Todo número real puede tener lugar en la recta numérica.Esta caracterización es uno de los desarrollos más significantes en la aritmética del siglo XIX.El principal uso de los números reales se encuentra en la medición de las cantidades continuas.Estas tienen dos propiedades importantes por el nombre de límite mínimo superior y campo ordenado.De acuerdo con la primera, un conjunto de Número Reales no vacío tendrá un límite mínimo superior, si el conjunto contiene un límite superior.El último dice que los números reales contienen un campo ordenado que puede ser completamente organizado bajo la recta numérica en sintonía con la multiplicación y la adición.Los números reales tienen su aplicación en los diversos campos de la física y de la computación.En física, la mayoría de las constantes físicas y las variables físicas se calculan con la ayuda de los números reales.En el pasado, varias teorías fundamentales de la física se explicaban a través de diferentes composiciones matemáticas que están totalmente basados en estos números reales.La notación “R” es universalmente utilizada para simbolizar todo el conjunto de los números reales.Estos números pueden ser marcados en la recta numérica como puntos.Los puntos de Números Reales siguen el principio básico de la recta numérica, es decir, el número más grande va a salir a la derecha y el más pequeño a la izquierda teniendo como punto de referencia el 0.Los números reales pueden ser representados con ayuda de los decimales.Esta representación ayuda a encontrar la posición aproximada de los números en la recta numérica.Por ejemplo, 0.5 es la demostración decimal del número racional ½.Los Números reales abarcan 9 propiedades diferentes que incluye la Propiedad Conmutativa de la Suma, la Propiedad Conmutativa de la Multiplicación, la Propiedad Asociativa de la Suma, la Propiedad Asociativa de la Multiplicación, la Propiedad de Identidad de la Adición, la Propiedad de Identidad de la Multiplicación, la Propiedad Inversa de la Adición, Propiedad Inversa de la Multiplicación y la Propiedad Distributiva.Con el fin de resolver un problema relacionado con Números Reales, uno debe seguir cierto orden en las operaciones.En primer lugar, las expresiones escritas dentro de corchetes y paréntesis deben ser resueltas.Los paréntesis más internos se resuelven primero, seguido por los más externos.Después de resolver el paréntesis, vienen las potencias y las raíces.Las expresiones que envuelven potencias y raíces se evalúan de izquierda a derecha.Luego viene la multiplicación y la división de izquierda a derecha y por último la suma y la resta, que también deben ser evaluados a partir de la izquierda y en dirección a la derecha.Las normas de orden se pueden entender mejor con la ayuda de un ejemplo:Consideremos una ecuación de la forma: −48 ÷ (7 – 9)³ - 2[1 – 5 (2 – 6) + 3²]Esta puede ser resuelta considerando los siguientes pasosPaso 1: Los paréntesis son resueltosPaso 2: Las expresiones que contengan potencia son resueltas
Paso 3: Luego viene la división número seguida de la parte de la suma que es evaluadaPaso 4: Multiplicación seguida de resta
VÍDEOS VÍDEO 1: Clasificación de los Números Reales VÍDEO 2: Operaciones básicas con números reales
1.3-. Propiedades de los numeros reales.
Los números reales son los números que se utilizan para la medición de cantidades reales. Incluyen los números racionales, números irracionales, números enteros, decimales, etc. Estas cantidades reales incluyen longitud, velocidad, temperatura ambiente, tasas de crecimiento y muchos más. Los números racionales e irracionales llenan completamente la recta numérica y forman el conjunto de los números reales. En palabras más simples, los números reales se pueden clasificar en números racionales y números irracionales. Estos números racionales se pueden dividir en números enteros y fracciones.Los números reales mantienen algunas de las propiedades básicas de las Matemáticas que por lo general pueden ser articuladas con respecto de las 2 operaciones elementales de multiplicación y suma. Estas propiedades incluyen: Propiedad Conmutativa de la Suma: Establece que el orden en el que dos números reales se suman no afecta a su sumatoria. Esto es,VIDEOS: Video 1:Ejemplo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10. Propiedad Conmutativa de la Multiplicación: De acuerdo con esta, cuando dos números reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo. En términos matemáticos,
Ejemplo: 4 X 3 = 3 X 4 = 12Propiedad Asociativa de la Suma: Esta propiedad dice que la suma de tres números reales dados, manteniendo su orden, agrupa dos de ellos, y luego se añade el tercer número a la sumatoria del grupo. Matemáticamente,Ejemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9Propiedad Asociativa de la Multiplicación: El producto de dos números reales se puede calcular de dos formas: De la primera forma, preservando el orden y multiplicando el número del producto del primer y segundo número al tercer número. La segunda forma de hacerlo es preservando el mismo orden y multiplicando el primer número con el producto del segundo y tercer número. El resultado en ambos casos será el mismo. Para ser específicos,Ejemplo: (2 X 3) X 4 = 2 X (3 X 4) = 24Propiedad de Identidad de la Suma: ‘0’es el número neutral, es decir, la identidad para la suma. La suma de cualquier número con 0 dará como resultado el propio número. Expresamente,Ejemplo: 9 + 0 = 9Propiedad de Identidad de la Multiplicación: Según esta propiedad de los Números Reales, el producto de cualquier número real con el elemento de identidad ‘1’ es el número real mismo. Es decir,Ejemplo: 6 X 1 = 6Inverso aditivo: Para cada Número Real, existe su inverso, de tal manera que la suma del número con su inverso dará como resultado 0, es decir,Ejemplo: 3 + (−3) = 0Inverso multiplicativo: De acuerdo con este, para todo Número Real distinto de cero, existe otro número real tal que el producto de los dos es 1. Matemáticamente,Ejemplo: 3 X 1/3 = 1Ley distributiva: En los Números Reales, la multiplicación se puede distribuir sobre la suma y viceversa.Ejemplo: 2 X (3 + 5) = (2 X 3) + (2 X 5) = 16Técnicamente, todas estas propiedades están denominadas en conjunto como los axiomas de campo. Estas propiedades ayudan a determinar el comportamiento de los números reales y ayudan a resolver los problemas de los números reales con mayor comodidad.
1.3.1-. Tricotomia.
En la Aritmética, la tricotomía denota las características de una relación ordenada entre dos números. La Ley de la tricotomía es una proclamación formal de una propiedad que para muchos de los estudiantes es bastante obvia, al hacer comparaciones entre dos números. De acuerdo con la propiedad de la Tricotomía, una de las relaciones tiene: x> y, x = y o x <y. Es decir, un número real puede ser positivo, negativo o cero. En términos matemáticos, se puede denotar como:Esta propiedad de la Tricotomía, en la lógica estándar, se utiliza para la evaluación de los números reales que abarcan sus subconjuntos de los Números Reales. Con respecto a los Números Reales, puede ser reformulada como: Por cada dos Números Reales x e y, de cada tres relaciones, para una de las relaciones es cierto que: a> b, a = b o a <b.En palabras más simples, para cualquier relación correspondiente S en el conjunto Q, la relación se dice que es tricotómica si, una de las relaciones mantiene:x Q y, x = y y Q xCuando se habla de la propiedad reflexiva o total, no es necesario que la ley de la Tricotomía se mantenga.Como x Q x no debe ser verdadero. Las relaciones tricotómicas también son asimétricas, al ver que y R x e x R y son siempre falsas.Las relaciones tricotómicas tienen algunas propiedades importantes, que son:Simétrica: Una relación tricotómica siempre es no simétrica. Por ejemplo: 4 <4 es falsa siempre.Reflexiva: Una relación tricotómica siempre es no reflexiva. Por ejemplo: 5 es menor que 6, pero 6 nunca es inferior a 6.Transitividad: Una relación tricotómica es generalmente transitiva. Por ejemplo: 4 <5, 5 <6, y 4 <6.Cuando la relación tricotómica es transitiva, entonces en ese caso, se dice que esa relación es de orden total estricto.Para una mejor comprensión, considere el ejemplo de los tres elementos x, y, z.En este caso, la relación Q dada por x Q y, x Q z, y Q z se dice que es una relación de orden total estricto, mientras que en la relación Q se representa como un ciclo x Q y, y Q z, z Q x resultó ser una relación tricotómica no transitiva.La aplicación de la Tricotomía y sus propiedades puede ser mejor entendido con la ayuda del siguiente ejemplo:Mientras se resuelven dos expresiones lineales-2x + 73x + 5La ley de tricotomía propone tres posibilidades muy variadas:(1). −2x + 7 > 3x + 5(2). - 2x + 7 = 3x + 5(3). – 2x + 7 < 3x + 5Se dice que cuando uno de los valores de la solución toma la posición de la variable x, en ese caso, exactamente una de las ecuaciones es cierta.Se puede establecer simplemente como la unión de los conjuntos de soluciones de los números reales R, y la intersección de cualquiera de los dos grupos en el conjunto vacío.Aplicaciones similares de la Tricotomía son definidas para la desigualdad del valor absoluto, la desigualdad polinomial, así como para las desigualdades de segundo grado.saludos y suerte prof Lauro SotoVIDEOS: Video 1:
1.3.2-. Transitividad.
La transitividad es una de las propiedades más necesarias de los números reales.En general, la propiedad de la transitividad tiene su aplicación en dos categorías: La Transitividad de la igualdad y la Transitividad de la desigualdad.De acuerdo con la transitividad de la igualdad, si dos números son equivalentes al mismo número, entonces todos los números son equivalentes entre sí. Es decir, si a = b y b = c entonces a = c.La Transitividad de la desigualdad trata con cuatro subpartes correspondientes a; mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que las desigualdades.Si a, b, c son tres números reales y1). Si a <b y b <c, entonces en ese caso, a < c.2). Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c.3). Si a> b y b> c, entonces a > c.4). Si a ≥ b y b ≥ c, entonces b ≥ c.En general, los primeras dos subpartes pueden afirmar que si un número es menor que o igual a un 2do numero, y el 2do es más pequeño o igual que un 3er entero, entonces el 1er número es menor o igual que el tercero.Pueden existir casos, cuando el desarrollo de argumentos por medio de las leyes de la transitividad pueden resultar erróneos. Tales interpretaciones pueden ser consideradas como la aplicación destartalada de la propiedad de la transitividad. Un ejemplo de tales argumentos es el caso cuando en un partido de cricket, el Equipo x vence al Equipo y, y en el encuentro siguiente el Equipo y vence al Equipo z. Por tanto, de acuerdo con la propiedad de la Transitividad, el equipo x le ganará el equipo z. Sin embargo, esto no es obligatorio fuera del ámbito de la transitividad. Del mismo modo, si A es amigo de B y B amigo es amigo de C no es esencial que A sea amigo de C. Por lo tanto, se necesita ser atentos al intentar formular argumentos con la ayuda de la propiedad de la transitividad. La propiedad de la transitividad tiene algunas subpropiedades, las cuales incluyen: 1).La Inversa de cualquier relación transitiva es también transitiva.2). La intersección de dos o más relaciones transitivas también es transitiva.3). Sin embargo, la unión de dos relaciones transitivas es veto transitiva, es decir, no es transitiva.4). Del mismo modo, la negación de cualquier relación transitiva podría no ser necesariamente transitiva.Los ejemplos son la manera perfecta para una mayor aceptación de los conceptos. Por tanto, un ejemplo de la transitividad puede ser muy útil:Supongamos que la ecuación dada está en forma de expresión, es decir,7 ≥ (3 + a) y (3 + a)> 2Y la pregunta provista es demostrar que 8> 5, con la ayuda de la ecuación dada.De acuerdo con la cláusula de la transitividad de las desigualdades en las matemáticas, si A ≥ B & B> C, en ese caso se puede concluir que A> C. Entonces, la solución de la ecuación puede ser procesada como,A ≥ B = 7 ≥ (3 + a)B > C = 3 + a > 2A> C = 7 > 2Por lo tanto, se demuestra por las siguientes ecuaciones que 7> 2. VIDEOS: Video1:
1.3.3-. Densidad.
Un número real es un número que existe en la realidad, lo que significa que cada punto en la recta numérica real representa un número real.Puede ser un número racional o irracional, un número entero o trascendental, de cualquier tipo.Existe una serie de propiedades de los números reales que deben ser estudiadas a profundidad para entender el concepto de los números reales y también las operaciones basadas en números reales.La densidad es una propiedad fundamental de los números reales, según la cual los números reales son densos en naturaleza, o en términos simples, entre dos números reales existe un tercer número real, en todos los casos.En la figura anterior, existen una cantidad infinita de números reales entre cero y uno.A la luz de la declaración anterior se puede concluir que la recta numérica no tiene espacios entre ella y por esta razón es muy densa, representando así una cantidad infinita de números sobre ella.Para demostrar la afirmación anterior, mire la prueba debajo. Consideremos dos números reales x e y, donde x es menor que y.Entonces,debe estar en algún lugar entre los dos números. Ahora, si r y s son números reales, entoncesrepresenta el conjunto de números infinitos que existen entre x e y en la recta numérica real.La ecuación anterior también se puede probar,r*x + s*y/ r + s = (r + s)*x + s*(y – x)/ r + s= x + (s/ r + s)*(y – x) > x = r*(x – y) + (r + s)*y/ r + s = y - (s/ r + s)*(y – x) < y.La propiedad de la densidad es dependiente de un conjunto que es mayor que el subconjunto dado y en el cual podemos acomodar el subconjunto dado.Lo que significa que, si B es un conjunto que contiene todos los elementos del conjunto A, y se asume que A es denso en B, entonces existen una cantidad de elementos infinitos entre ellos como B / A.Está fuertemente establecido que no puede existir un par de números reales que no contengan otro número real entre ellos.Esto también significa que la recta numérica real está formada de manera muy íntima teniendo una infinidad de números sobre ella.Sobre la recta numérica real, existen algunos números racionales entre el conjunto de dos números reales, existen algunos números irracionales entre un conjunto de dos números racionales; existen algunos números racionales entre un conjunto de dos números irracionales.La recta numérica real es tal que para cualquier número real a y sean mayores que cero, entonces otro número racional es .Esta propiedad viola la propiedad de numerabilidad que los estudiantes leen desde temprana edad, de que podemos contar los números reales.Lo verdaderamente cierto, es que los números reales no se pueden contar.Tomemos ahora un ejemplo para clarificar el concepto. Demostrar que si r – s > 1, entonces para un número entero k lo siguiente es cierto, r <k <s.Supongamos que un número entero el cual es el mayor entero que satisface la ecuación <= r.Entonces para la ecuación r – s > 1, podemos mantener los valores, y> x + 1> = + 1.Y a nuestro conocimiento <= x < + 1 se mantiene cierto.Por tanto al comparar las ecuaciones, x < + 1 < y se convierte verdadero y esto produce k = + 1.VIDEOS: Video1:
1.3.4-. Axioma del supremo.
El significado de límite superior es conocido por todos, el cual es el máximo de los valores.Pero el concepto de supremo es un poco diferente del límite superior.También es conocido como extremo superior.En términos de teoría de conjuntos un supremo puede ser definido como un valor x de un conjunto de valores, tal que ningún otro valor del conjunto es mayor que x.También existe otro valor y positivo que puede ser muy pequeño para el cual x - y es mayor que x.Considere un conjunto A subconjunto de los números reales R. Entonces,1. El Máximo de A será un valor que debe ser mayor que todos los valores en el conjunto A.t≤x para tEA2. El Mínimo de A será un valor que debe ser menor que todos los valores en el conjunto A.t≥x para tEAEn términos de funciones un supremo puede ser definido como un valor de ≤x en el dominio de la función dada tal que f(y) x para todos los valores en el dominio de la función dada.También existirá otro valor positivo a, que puede ser muy pequeño para el cual (x - a) es menor que f(x).La teoría axiomática de conjuntos establece que para un determinado conjunto de números reales que es no vacío, siempre existe un supremo / extremo superior que puede no ser algún número real, dado que el conjunto de números reales está acotado superiormente.Esta teoría también se aplica a los números complejos.El supremo de un conjunto A también es llamado sup A.Otra formulación de la teoría axiomática de conjuntos es que la convergencia de una serie de números reales es otronúmero real.Un dato muy interesante acerca del supremo es que no existe supremo para un conjunto de números racionales en particular.Vamos a echar un vistazo a la prueba del teorema dado,Suponga que la serie Xn es convergente a X. Ahora sea un conjunto Y = {Xn: Xn <= X}.Este conjunto abarcaría todos los valores de la serie Xn que son más pequeños que los valores de X.Con respecto a la declaraciones anteriores, se puede decir que X es el supremo de Y.Por el contrario, si tenemos un conjunto de números reales que está acotado superiormente, sea Xn una serie que consiste en los elementos de Y.Es esencial que todos los elementos de Y se coloquen en orden creciente.Ahora bien, por la definición de extremo superior / supremo, para algún número pequeño que es positivo hay un elemento en el conjunto dado (el Xnavo elemento del conjunto Xn) tal que Xn sea mayor que X – a, donde a es un valor dado.Dado que la serie dada está organizada en orden creciente, tenemos que todos los valores de Xn mayores que X – a, provistos son n > N.Entonces,
Existe otra serie de teoremas correspondientes con el Teorema del Extremo Superior tal como el expresado debajo,Todas las series de números reales que no son de origen decreciente, tienden a algún límite, es decir, siempre están acotadas superiormente.VIDEOSVideo 1:
1.4-. Intervalos y su representación mediante desigualdades.
La noción de intervalo es un sistema de escritura de los conjuntos numéricos en el plano de coordenadas.El intervalo es en general, utilizado para representar un grupo de números a lo largo de un eje determinado.Estos intervalos son típicamente representados por las desigualdades.Por ejemplo, considere todos los números mayores que 6, con el fin de representar este conjunto de números, podemos escribir la desigualdad como x> 6, donde x es cualquier número en este conjunto.Sin embargo, si quiere representar solamente la notación de intervalo, se escribe (6, +oo).Con el fin de interpretar la notación del intervalo, se asume que el grupo de números del conjunto están en la recta numérica, usualmente en uno de los ejes.El extremo izquierdo de la notación es decir, ‘(6’, indica que el conjunto de números comienza a partir del próximo número que sigue al 6 en el eje de coordenadas.El paréntesis que precede al 6 se conoce como paréntesis alrededor de o exclusivo.Este paréntesis muestra que el 5 está excluido del grupo.Tales tipos de intervalos son llamados “Abiertos”.El símbolo de infinito siempre viene junto al paréntesis exclusivo.Por lo tanto, esta representación cubre todos los números mayores que 6, hasta el infinito.Los conceptos más profundos pueden ser mejor entendidos con otro ejemplo que consiste en todos los números mayores que 2 pero menores o iguales que 7.Para este conjunto de números, la representación de la desigualdad es .Este grupo puede ser representado por la notación de intervalo (2, 7].El paréntesis antes del ‘2’ indica que el 2 está excluido del grupo, mientras que el corchete o paréntesis inclusivo ’[’ indica que el 7 está incluido en el conjunto.Estos intervalos se conocen como “Semiabiertos” y “Semicerrados”.Los conceptos difíciles incluyen aquellos ejemplos en los cuales el conjunto de números comprende todos los reales tomando en cuenta un número particular.Supongamos que el número 4 está excluido del conjunto.La representación de esa desigualdad es: x < 4 y x > 4.La representación correspondiente de tal intervalo es: (oo , 4) U (4, +oo ).U’ significa unión.La función principal del símbolo de unión es unir dos conjuntos separados. ‘U’ hace el trabajo de ‘Y’.De la misma forma que funciona ‘O’ en las operaciones de dos conjuntos, existe un símbolo especial de intersección que es utilizado .Por ejemplo: (-oo , 4)(4, +oo ).Para resumir observemos un ejemplo donde todos los conceptos mencionados están cubiertos:Supongamos que la ecuación a ser resuelta es │2x-3│>5La desigualdad anterior puede ser separada en dos desigualdades, es decir,2x-3>5 ó 2x - <-5Tras resolver estas desigualdades obtenemos, x>4 ó x<-1La notación de intervalo correspondiente sería: (-∞,-1) U (4,∞) .Este intervalo puede ser interpretado como la representación de todo un conjunto de números, como la unión de 2 conjuntos diferentes.El primer conjunto comenzará desde el valor infinito negativo hasta el −1 en la recta numérica.El segundo conjunto comenzará desde el 4 hasta el valor infinito positivo.La solución total del conjunto incluirá todos los números tanto del primer conjunto como del segundo conjunto.VIDEOS:VIDEO1:VIDEO 2:
1.5-. Resolucion de desigualdades de primer grado con una incognita y desigualdades cuadraticas con una incognita.
Las desigualdades de primer grado, más conocidas como desigualdades lineales, son las desigualdades en las que la mayor potencia del pronumeral o variable no es mayor que 1.Por ejemplo: x + y> 5 se puede llamar desigualdad lineal. Estas desigualdades se pueden emplear para resolver muchos de los problemas matemáticos.La desigualdad lineal difiere de las ecuaciones lineales por el hecho de que las ecuaciones lineales con una sola variable pueden tener solo una solución que sea verdadera. Sin embargo, en el caso de las desigualdades lineales puede haber varias soluciones para una variable que satisfaga la desigualdad correspondiente.Por ejemplo: la ecuación lineal 5x = 20 tiene que x = 4 es su única solución, mientras que la desigualdad 5x> 20 puede tener como su solución todos los números mayores a 4.Reemplazando ‘=’de la ecuación lineal con mayor que ‘>’, menor que‘<’ , mayor o igual que ‘ ’ o menor o igual que el símbolo ‘ ‘, las desigualdades lineales pueden ser obtenidas.Un sistema de desigualdades lineales consiste en más de una desigualdad que debe ser satisfecha de forma simultánea. Por tanto, una solución del sistema de desigualdades lineales significa una solución que satisfará a todas las desigualdades del sistema, es decir, una solución que es común a todas las desigualdades del sistema. Del mismo modo, el grupo de todas las soluciones de la desigualdad se denomina conjunto de soluciones.Cuando se solucionan desigualdades de primer grado, algunas propiedades pueden ser muy útiles:1. En caso que, x < y e y < z, entonces x < z,2. Si, x < y, entonces x + z < y + z y x - z < y – zEsto es, el curso de una desigualdad permanece igual si, de ambos lados, un número idéntico es sumado o restado.3. Si x < y, entonces: xz < yz cuando z es positivo xz > yz cuando z es negativoEs decir la dirección de la desigualdad sigue siendo igual si un número idéntico positivo es sumado en sus dos lados. Sin embargo, la dirección cambia, si el mismo número negativo se añade en ambos lados de la desigualdad.4. Si x < y e z < a, entonces x + z < y + a.Se dice que las desigualdades en la misma dirección se pueden resumir.5. Si x < y e ambos x e y son del mismo signo, entonces > . La dirección de la desigualdad cambia cuando los recíprocos de ambas partes se toman, en tal caso, ambas partes tienen el mismo signo.Una comprensión más profunda del concepto se puede obtener con la ayuda de un ejemplo:Suponga que la ecuación a resolverse es 6 1 - 4x y 1 - 4x < 9Por razones de simplificación combinaremos ambas ecuaciones en una, esto es 6 1- 4x < 9Paso 1: Reste 1 de ambos lados, entonces de acuerdo con la regla 2 citada anteriormente, obtenemos6 - 1 −4x < 9 −1 5 −4x < 8Paso 2: Ahora divida ambos lados con . De acuerdo con la regla 3, las direcciones de las desigualdades cambiarán, es decir −5/4 x > −2Por tanto, el conjunto de soluciones yace en el intervalo de [−5/4, −2).VIDEOS VIDEO 1:
1.6-. Valor absoluto y sus propiedades.
El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica.El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido también como el módulo del número.El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.Por ejemplo, la posición de 2 y −2 en la recta numérica indica que −2 <2, pero que ambos están a la misma distancia de 0.Por lo tanto, se dice que −2 y 2 tienen el mismo valor absoluto.En el caso de los números reales las generalidades del valor absoluto pueden encontrarse en una amplia variedad de ajustes aritméticos.Por ejemplo, el valor absoluto puede ser descrito por los cuaterniones, números complejos, los campos, anillos ordenados, así como para los espacios vectoriales.Estos valores están directamente relacionados con los conceptos de distancia, magnitud y norma en la variedad de contextos físicos y matemáticos.Para cualquier número, si:Entonces| x | = x y six ‹ 0 entonces | x | = -xLas propiedades fundamentales del valor absoluto son:No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.| x | = 0 x = 0Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.| xy| = | x | | y |Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números.| x + y| = | x | + | y |En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las propiedades más importantes son:Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo.| - x | = xIdentidad de Indiscernibles: Equivalente de la definición positiva, establece que si el módulo de la resta de dos números es 0, entonces los dos números son iguales en su valor.| x – y | x = yDesigualdad Triangular: Puede ser expresada en la forma: | x – y | | x – z | + | z - x |.Preservación de la División: Es el equivalente de la propiedad multiplicativa y establece que el módulo de la división de dos números es siempre igual a la división del módulo de los dos números por separado.| x / y| = | x | / | y | si y 0Dos propiedades que pueden ser significativas en algunos casos incluyen:| x | y -y x 9| x | y x -y ó y xTodas las propiedades del valor absoluto pueden ser demostradas de manera idéntica. Para un mejor entendimiento, tomemos un ejemplo de prueba con los siguientes valores:Demostrar: | 2 – 7 | › | 2 | - | 7 |Primero, tomando el lado izquierdo | 2 – 7 || - 5 | | 5 |Ahora, resolviendo el lado derecho, tenemos| 2 | - | 7 |2 – 7 −5Por tanto, se puede ver que L.I. > L.D.Es decir, | 2 - 7| › | 2 | - | 7 |VIDEOSVIDEO 1:
1.7-. Resolucion de desigualdades que incluyan valor absoluto.
La solución de desigualdades que implican valor absoluto requiere algunos conceptos básicos. La definición básica “ El valor absoluto de un número es siempre positivo” no tiene ningún uso mientras se resuelven tales desigualdades. Por el contrario, la explicación geométrica del valor absoluto “El valor absoluto de un número es la distancia del mismo con respecto del número 0 en la recta numérica” debe ser considerado. Por ejemplo: Como 5 está a la distancia de 5 unidades del origen, es por eso que el valor absoluto de | 5 | es 5.De la misma forma, el valor absoluto de −5 es también 5. | −5 | = 5.Con el fin de resolver las desigualdades con valor absoluto es necesario tomar dos patrones en cuenta:Patron 1: Menor desigualdad absolutaDe acuerdo con este patrón, si la desigualdad a ser resuelta es de la forma | s | <a, entonces en ese caso, la solución correspondiente siempre tendrá la forma de -a <s <a.Este concepto es válido incluso para las desigualdades de alta complejidad.Por ejemplo: | x + 3 | <7De acuerdo con el patrón, puede ser reformulada como= - 7 <x + 3 <+7Después de replanteada siguiendo el patrón 1, ahora puede ser resuelta de acuerdo con los fundamentos de la desigualdad, es decir,- 7 – 3 < x < + 7 – 3 - 10 < x < +4Por tanto, la solución está en el intervalo de (−10, +4).Patrón 2: Mayor desigualdad absolutaDe acuerdo con este patrón, si | s |› a es el patrón de la desigualdad dada, entonces la solución puede ser obtenida mediante separar la desigualdad en dos partes, que son s < –a o s > a .Por ejemplo:| x + 5 | › 8Siguiendo de acuerdo con el patrón x + 5 < - 8 o x + 5 > 8Ahora, la desigualdad puede ser resuelta junta comox < - 8 – 5 o x > 8 - 5x < −13 o x < 3Por tanto, la solución consiste en dos intervalos x < - 13 o x < 3.Otra variedad de problemas pueden ocurrir cuando se da un par de desigualdades con el fin de encontrar las desigualdades con valor absoluto correspondiente. Para resolver este tipo de problemas, es necesario seguir algunos pasos. En primer lugar, mirando los extremos de las desigualdades dadas. El siguiente paso consiste en calcular la diferencia entre los extremos determinados. Ahora, ajustando las desigualdades con la mitad de la diferencia calculada dará las desigualdades en la forma que cualquiera de los dos patrones puede ser aplicado.La aplicación de estas reglas puede ser demostrada con la ayuda de un ejemplo:Supongamos que las desigualdades provistas son:De acuerdo con las reglas, los extremos determinados son 24 y 19. Estos extremos están a 5 unidades de distancia. Por tanto, las desigualdades se puede ajustar entre la mitad de la diferencia, es decir −2.5 a +2.5.Ahora, desde 19 – (−2.5) = 21.5 y 24 – 2.5 = 21.5, por tanto 21.5 se necesita para ser restado de todos los lados de las desigualdades.x < 19 o x > 24x – 21.5 < 19 – 21.5 o x – 21.5 > 24 – 21.5x – 21.5 < –2.5 o x – 21.5 > 2.5Se puede observar que el resultado es de la forma “mayor que”. Por tanto, el resultante de la desigualdad con valor absoluto es | x - 21.5 |› 2.5VIDEOS VIDEO 1: VIDEO 2: VIDEO 3:
Unidad 2: Funciones
2.1-. Concepto de variable funcion dominio codominio y recorrido de una funcion
De acuerdo con la definición formal de función, “Una función es una ecuación matemática que relaciona los elementos de un conjunto con un solo elemento de otro conjunto”. El objetivo principal de leer sobre funciones es ser capaz de resolver las relaciones de las mismas, las funciones formulan las relaciones en forma de ecuaciones y al resolver estas se obtienen las respuestas. En términos sencillos, una función es algo que se resuelve para una o más variables. Para comprender con mayor profundidad las funciones, es importante entender lo que es una variable. Una variable puede ser considerada como un elemento o artículo que puede ser medido en términos cuantitativos o puede entenderse como un elemento que puede ser representado por un número para medir su magnitud. Su nombre se mantiene así que lo que varía son los valores, es decir, su valor cambia para diferentes valores de entrada. A la luz de la declaración anterior, una variable puede ser entendida como un elemento para el cual obtenemos un número de valores para argumentos diferentes de una función particular. Generalmente, el alfabeto se utiliza para representar las variables de una función. Como ejemplo, 2Z2 es una variable debido a que recibimos diferentes valores para esta expresión a medida que el valor de z cambia. En esta expresión 2 es llamado el coeficiente de la variable z. Consideremos dos conjuntos no vacíos A y B, en una situación de correspondencia de A a B que asigna un único elemento de B a uno o más elementos de A esto se conoce como una función de A a B, es decir, f: A → B, donde f se denomina la correspondencia. Aquí, f(a) = b, a ε A y b ε B. De la declaración previa denominamos b como la imagen de a bajo la correspondencia de f. Es importante mencionar que no puede haber más de una imagen de un elemento particular en el conjunto A, lo que significa que no pueden existir funciones con múltiples valores. En el ejemplo anteriormente expuesto, llamamos a A el dominio de la función, mientras que B es llamado el co-dominio. Esto significa que un conjunto de todas las entradas de una función se conoce como el dominio de la función, mientras que un conjunto de todas las salidas probables de la función se llama el co-dominio de la función. Aquí es importante tener en cuenta el uso de la palabra “probable”. Esto se debe a que el conjunto de todas las salidas de la función se conoce como el rango de la función. Para entender la delgada línea entre los dos se tomará un ejemplo de una función valorada real. En el caso de una función valorada real el co-dominio se compone de todos los números reales incluso si algunos de ellos no pueden formar parte del rango de la función. Para entender los términos en detalle, veamos un ejemplo: x / 1-x Dado que el denominador no puede ser igual a cero, esto implica que el dominio de la función sería de R-{1} Para conocer el rango, x> 0 debe registrarse en la recta numérica y luego 1-x> 0 en la misma recta numérica.La combinación de ambas salidas da el rango de (0, 1). Videos: VIDEO 1:
VIDEO 2:VIDEO 3:VIDEO 3 (PT. 2):DOMINIO DE FUNCIONVIDEO 1:VIDEO 2:CODOMINIO DE UNA FUNCIÓNVIDEO 1:VIDEO 2:RECORRIDO DE UNA FUNCIÓNVIDEO 1:VIDEO 2:EJERCICIOS:
2.2-. Funcion inyectiva Funcion suprayectiva y Funcion biyectiva
Las funciones pueden ser clasificadas principalmente en tres categorías basadas en como las imágenes y los argumentos están asignados, a saber en otra función injectiva, función sobreyectiva y función biyectiva.Una función inyectiva, también llamada función uno a uno, es aquella que conserva la distinción, es decir, no asigna los distintos elementos en su dominio al mismo elemento en su co-dominio. En otras palabras, podemos decir que hay una asignación uno a uno entre los elementos del dominio y el co-dominio de una función. A la luz de la declaración anterior, podemos concluir que hay una salida diferente para cada entrada de la función.La notación utilizada para representar una función inyectiva es la flecha con cola de pescado, es decir, f: A> B, donde f es una función de A a B. Tal función asegura una imagen diferente para cada elemento en el dominio de la función. Sin embargo, en algunos casos, un elemento en particular en el rango de la función puede tener múltiples pre- imágenes.En términos matemáticos, una función inyectiva es una función f: A B, donde ningún elemento de B es la imagen de dos o más elementos diferentes de A bajo f. En terminología gráfica, si la curva que representa la función es cortada por cualquier línea horizontal al menos una vez, entonces tal función es llamada función inyectiva.Una función sobreyectiva, también conocida con el nombre de sobre función, es aquella en la cual podemos obtener todos los números en el co-dominio de la función por la aplicación de la correspondencia / función f a un número en el dominio de la función. En tal escenario, pueden existir varios elementos en el dominio de la función que se asignen al mismo elemento en el co-dominio de la función.En términos matemáticos, una función sobreyectiva es una función f: A B donde el rango de la función es igual al co-dominio de la función. En general, una función con rango R y co-dominio B posee la propiedad de que R es subconjunto de B.Por lo tanto, con el fin de demostrar que una función es una función sobreyectiva, debemos probar que B es un subconjunto de R. Con este fin uno puede tomar arbitrariamente cualquier elemento del co-dominio y demostrar que este existe como la imagen de algún elemento en el dominio de la función.En el ejemplo anterior la función f(x) existe para valores positivos lo que implica que el rango de la función es mayor que cero, por tanto se puede concluir que el rango y el co-dominio son iguales. Entonces podemos decir que la función es sobreyectiva.Una función biyectiva es aquella que es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva, es decir, es una combinación de los dos tipos de funciones mencionadas anteriormente. Una función biyectiva es aquella en la que tenemos un solo elemento en el dominio de la función para cada elemento en el co-dominio de la función, lo que implica que f(x) = y, donde x ε X (dominio de la función) y y ε Y (co-dominio de la función).A la luz de la declaración anterior se concluye que no puede existir ningún elemento sin asignar ya sea en el dominio o en el co-dominio. Observe un ejemplo resuelto para un mejor entendimiento, La función f es definida como f: N N (donde N es un conjunto de números naturales) y f(x) = x+2. ¿Es esta función sobreyectiva? Solución:Dado que, N = {1, 2, 3, 4…} y X = Y = N Para: X Y Donde x = 1 f(x) = 3 Donde x = 2 f(x) = 4Entonces f(x) nunca toma el valor de 1 y 2. Por lo tanto, Y tiene dos elementos que no poseen pre-imagen en X. Lo que significa que esta no es una función sobreyectiva.VIDEOS: VIDEO 1 : Función Inyectiva y BiyectivaVIDEO 2 : Función Inyectiva, Biyectiva y Suprayectiva.
2.3-. Funcion real de variable real y su representacion gráfica
Cualquier función cuyo rango de conjunto incluya sólo números reales esllamada una función valorada real o simplemente una función real. Especialmente estudiada bajo el cálculo, una función valorada real se centra en las integrales, las desigualdades en general y sus derivadas. Una función racional, por ejemplo, cae bajo la categoría de una función valorada real. Al igual que en cualquier otra función, tambiéna una función real pueden realizársele las operaciones básicas, tales como suma, resta, multiplicación, etc. Aunque el denominador no sea igual a cero, la operación de división se puede realizar en tales funciones. El resultado de estas operaciones es otra función, que puede no ser una función real en algunos casos. Si hablamos en términos matemáticos, una definición formal de una función valorada real sería “Una función f: X → Y se llama una función valorada real si asocia un único elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X, donde X e Y son subconjuntos del conjunto R (conjunto de todos los números reales)”. En términos simples se puede decir que una función que tiene el dominio y co-dominiode su conjunto, como subconjunto de R se llama una función real. Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x, f (x)) se le llama gráfico de una función. En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de números reales; la gráfica se llamará gráfica de la función valorada real. Generalmente el gráfico de tal función es una superficie, donde la entrada de la función es un par ordenado de números reales (x1, x2)y la salida, es decir, el gráfico formado es un triplete (x1, x2, f(x1, x2). Algunas de las funciones valoradas reales y sus gráficos se analizan a continuación: 1. Función Constante y Gráfico: Una función constante es una función f: X → Y, donde X e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k. El gráfico formado para esta función es una línea recta paralela al eje X. Si tenemos que k> 0 la línea estará por encima del eje x, sinola línea se formará por debajo del eje-x. En el caso que k sea igual a cero la línea se superpone al eje-x. Ejemplo, y = 12, en este caso una línea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formará la gráfica.2. Función Identidad y Gráfico: Una función identidad es una función f: X → Y que tiene la propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X. La gráfica de esta función es una línea recta que se traza en un ángulo de cuarenta y cinco grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos. Tal función toma un elemento para sí mismo y nunca cambia su dominio. Ejemplo, f (x) = x, en este caso una línea en un ángulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a travésdel origen y formará la gráfica.3. Función Módulo y Gráfico: Una función módulo o una función valorada absoluta es una de la siguiente manera, f(x) = x, f(x) = {x >= 0, -x <= 0}4. Función Recíproca y Grafico: Una función recíproca es una como la que sigue, f(x) = 1/x, donde x <> 0VIDEOS: VIDEO 1 :CONCEPTO
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2.4-. Funciones algebraicas funcion polinomial Funcion racional Funcion irracional
Cualquier función que satisfaga una ecuación polinómica en la cual todos los coeficientes son polinomios se llama función algebraica. Si hablamos en términos de terminología matemática, una función algebraica es una función f(x) X → Y que satisface la ecuación p (x, f (x)). Aquí p (x, y) es una ecuación polinómica con todos sus coeficientes como enteros y lo es en términos de X e Y. Entre los ejemplos de funciones algebraicas, todas aquellas funciones que pueden construirse con la ayuda de un número escaso de operaciones matemáticas básicas, donde además su inversa creada sea capaz de hacer lo mismo, son incluidas en la definición. Las funciones que no son algebraicas, o que no satisfacen la ecuación, se llaman funciones trascendentes. Una curva algebraica es la gráfica de una función algebraica, la cual es en realidad un conjunto cero de cualquier polinomio en función de dos variables. Todas las funciones racionales son también funciones algebraicas, mientras que lo contrario no es cierto, en esencia. Un ejemplo de la función algebraica puede ser: F(x)= VIDEOS VIDEO 1: VIDEO 2: VIDEO 3:
2.5-. Funciones trascendentes, Funciones trigonometricas, Funciones exponenciales
Funciones Trascendentales, Funciones Trigonométricas y Funciones Exponenciales Hay dos clases de funciones reales. Cualquier función que no sea una función algebraica es llamada función trascendental. Tal función trasciende, lo que significa que no puede ser expresada en forma de operaciones algebraicas, de ahí el nombre de la misma. A la luz de lo anterior se puede concluir que, para un valor de x la salida de una función trascendental no puede ser calculada algebraicamente. Estas funciones son muy importantes en la solución de problemas de física e ingeniería. Son especialmente utilizados para detectar errores en el análisis dimensional. Esto se debe a que la función trascendental sólo tiene sentido después que sus argumentos se hacen sin dimensiones, esto también puede hacerse utilizando reducciones algebraicas. Para definir una función trascendental elemental, principalmente se emplean tres estrategias. Una de ellas es hacer uso de las series de potencias. Sin embargo, rara vez se utiliza, ya que no forma parte del cálculo elemental. El otro, que se utiliza en gran manera, es el método de la integral definida. Dos de las funciones trascendentales más importantes son las funciones trigonométricas y las funciones exponenciales. Las funciones de los ángulos se conocen como funciones trigonométricas. También se les conoce por el nombre de funciones circulares. Estas funciones forman parte de la trigonometría: coseno, cosecante, cotangente, seno, secante, tangente, etc. Estas funciones son una herramienta muy esencial para relacionar la longitud de los lados de un triángulo con los ángulos del triángulo. Entre muchas de las aplicaciones, estas funciones son importantemente utilizadas para modelar los fenómenos periódicos. En términos más precisos, una función trigonométrica se puede definir como una función que es razón de cualquiera de los dos lados del triángulo con un ángulo específico entre ellos. Algunos de los matemáticos modernos incluso definen tales funciones como una serie de longitud infinita o la solución de ecuaciones diferenciales,extendiendo estas un gran número de negativos así como positivos, inclusonúmeroscomplejos en algunos momentos. 1. El seno de una función puede ser definido como la razón de la longitud perpendicular y la longitud de la hipotenusa del triángulo.2. El coseno de una función puede ser definido como la razón de la longitud la base y la longitud de la hipotenusa del triángulo.3. La tangente de una función puede ser definida como la razón de la longitud de la base y la longitud perpendicular del triángulo.4. La cosecante de una función, que es el inverso del seno de la función, puede ser definida como la razón de la longitud de la hipotenusa y la longitud perpendicular del triángulo.5. La secante de una función, que es el inverso del coseno de la función, puede ser definida como la razón de la longitud de la hipotenusa y la longitud de la base triángulo.6. La cotangente de una función, que es el inverso de la tangente de la función, puede ser definida como la razón de la longitud perpendicular y la longitud de la base del triángulo
Una función entera, comúnmente conocida por el nombre de función exponencial es definida como una función f: X Y de la forma, exp(z) = ez Aquí e es el resultado de la ecuación, tal que lo que hace a x = e = 2.718. El valor de e siempre debe ser mayor que cero y ambos e y x deben ser números reales. Una función exponencial es la funcion F:X→Y de la forma exp(z)=e 2 Tome un ejemplo, para evaluar la funcion f = 5(4)x dado el valor de x = 2.5. Siga los sencillos pasos de la siguiente manera, • f = 5(4)2.5 (reemplazando el valor de x) • 5(32) = 160 VIDEOS VIDEO 1: VIDEO 2: VIDEO 3:
2.6-. Función definida por mas de una regla de correspondencia, función valor absoluto
Función a trozos es un nombre más general para una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia. Una función f: X → Y es llamadauna función a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales. Podemos decir que tal función está definida en una serie de intervalos múltiples. La notación general para definir una función a trozos es la siguiente,Como se muestra en el ejemplo, punto y coma ócomas se utilizan al final de la columna. Sin embargo, algunos los autores prefieren usar palabras como “si” o “para” en la columna derecha, y la palabra “ de lo contrario” también se puede utilizar para indicar el caso por defecto. La gráfica de esta función también se divide en trozos, dependiendo del número de ecuaciones que se utilicen para definir la función. Tal función es llamada de esta forma porque la definición de esta función cambia dependiendo del valor de la variable de entrada. Aquí el uso de la palabra “a trozos” se hace para describir la propiedad de esa función, que es válida para una ecuación / pieza de la función pero no en todo el dominio de la función. La función a trozos tiene una serie de funciones en su cuerpo, el dominio de cada una de ellas se define por separado. El gráfico del ejemplo dado previamente luciría de esta forma,
Es claro que el gráfico anterior contiene dos piezas separadas para indicar dos ecuaciones diferentes, por lo tanto representa la función como un todo.Un caso especial de la función a trozos es la función piso que tiene un número infinito de piezas.El valor absoluto de cualquier número es su distancia absoluta del cero, nunca es negativo dado que la distancia nunca es negativa.A la luz de la afirmación anterior se puede decir que el valor absoluto de cualquier número es el número mismo hecho positivo.La función de valor absoluto es generalmente una función par, ya que cualquier número y su equivalente negativo tienen los mismos valores absolutos.Tal función es estrictamente decreciente en el intervalo (- ∞, 0] y estrictamente creciente en el intervalo [0, ∞).El ejemplo ilustrado arriba es también una función de valor absoluto.Todas las gráficas de las funciones de valor absoluto están en forma de letra “V”, ya seanrectas u oblicuas en función del valor de la variable.Esto se debe a que un valor negativo en cada variable es igual en magnitud pero opuesto en su dirección.Pero definitivamente no se puede llegar a la conclusión de que todas las funciones con forma de V son funciones de valor absoluto, esto es simplemente una probabilidad.Graficar una función de valor absoluto es muy esencial para utilizar algunos valores negativos en la tabla T.Esto se debe a que las funciones de valor absoluto se comportan algo diferente de otras funciones lineales.Generalmente una función real de valor absoluto se comporta de forma continua en todos sus dominios.También tal función sería diferenciable para todos los valores excepto el cero.En el caso de una función de valor absoluto compleja, no hay diferenciación posible para alguno de sus valores. Sin embargo, es continua para el dominio completo.VIDEOSVIDEO 1:
2.7-. Operaciones con funciones, Función adición, Función multiplicación, Función Composicion
Al igual que en cualquier otra cantidad matemática, es posible realizar operaciones básicas en las funciones. Es posible sumar dos funciones, restar dos funciones, multiplicar dos funciones, dividir dos funciones y también hacer composiciones unas con las otras. La suma de dos funciones está denotada por g(x) y f(x) es g + f. Consideremos dos funciones, g(x)=xSuperscript 2 f(x)=x La suma de las dos funciones producirán una sola función como, (g+f)(x)=g(x)+f(x) Ahora bien, el dominio de la función resultante será la intersección de los dominios de entrada de las funciones. Para simplificar la tarea de la suma de dos funciones, sólo añada las salidas de estas dos funciones. Por ejemplo, considere las dos funciones siguientes, g(x) = x2 + 2 y, f(x) = 4x – 1 Las dos funciones se pueden sumar como (g + f) (x) = (x2 + 2) + (4x – 1) = x2 + 4x + 1 La suma de dos funciones puede entenderse como graficar una de las funciones y tomarla función de ese gráfico como el eje x de la otra función. Al igual que se suman dos funciones, también es posible multiplicar dos funciones. Esto es similar a la suma de dos funciones, simplemente en lugar de ser una operación de suma uno necesita realizar la función de multiplicación. La salida de la multiplicación de dos funciones producirá, (g.f)(x)=g(x).f(x) El dominio de la función resultante será la intersección de los dominios de entrada de las funciones. Como la suma de dos funciones, para llevar a cabo la multiplicación de dos funciones, unosimplemente tiene que multiplicar la salida de las dos funciones de entrada. Tomemos como ejemplo la multiplicación de dos funciones, g(x) = 3 √x y, f(x) = √x entonces, (g . f) (x) = (3 √x) . (√x) La multiplicación de una función consigo misma se denota como, f2(x) = f(x) . f(x) también es posible multiplicar una función con cualquier cantidad escalar. Esto es fácil de realizar, sólo multiplique cada una de las salidas con esa cantidad escalar. La inserción de una de las funciones con otra función es llamada composición de la función. De este modo, el rango de la función insertada se convertirá en el dominio de la función en la cual se insertó. También se conoce como la aplicación de una función sobre el resultado de otra función. Hablando en términos matemáticos, la composición de una función g: X → Y sobre la función f: Y → Z es computar la salida de la función f(x) cuando la entrada de la función es f(x) y no x. La composición de dos funciones siempre satisface la propiedad asociativa. Esto es, si consideramostres funciones f, g, h. La composición de estas tres funciones, f 0 (g 0 h) = (f 0 g) 0 h Aquí el paréntesis es utilizado para indicar la prioridad mientras se realiza la composición de las funciones. La composición de funciones es también conmutativa, esto es, g 0 f = f 0 g. Pero esto no es cierto en todos los casos. La composición de dos funciones se denota como, f(g(x))=f0g(x) Tome como ejemplo, g(x) = 2x + 3 f(x) = -x2 + 5 g(f(x)) = g(-x2 + 5) = 2(-x2 + 5) + 3 = −2×2 + 10 + 3 = −2×2 + 13 VIDEOS: VIDEO 1:
2.8-. Función inversa, Función logarítmica, Funciones trigonométricas inversas
Cualquier función que deshaga una función es llamada función inversa en matemáticas. A la luz de la declaración anterior se puede concluir que para la función f: X → Y si utilizamos una entrada x para producir y como salida. La función inversa g: Y → X produciría a x como salida mientras que y sería la cantidad de entrada. Una función invertible es aquella que tiene una función inversa propia. El inverso de tal función f es denotado por f-1y es determinado de forma única. Para una función dada f: X → Y, su inverso se representa como,Aquí se puede decir que tanto f(x) como f-1 (x) son reflejos una de la otra sobre la recta x=y. Cada función que posee una inversa debe satisfacer la condición que establece que para cada elemento en el dominio de la función existe un único elemento para el cual ningún otro elemento en el dominio de la función puede corresponder. Por tanto es posible decir que cada elemento en el rango y en el dominio de la función está apareado en una asociación única. Cada elemento del rango de la función está asociado con un único elemento del dominio de la función y cada elemento del dominio de la función está asociado con un único elemento del rango de la función. Encontrar la inversa de una función es muy sencillo. Tomemos como ejemplo, f (x) = 2x + 3 Convierta la ecuación anterior a la forma de variable de x e y. y = 2x + 3 y – 3 = 2x y – 3/ 2 = x Para encontrar el inverso de la ecuación anterior, simplemente intercambie las variables x e y en sus respectivos lugares, x – 3/ 2 = y sería la inversa de la función de entrada. Una función logarítmica f: X → y es una función de la forma,Aquí b es usualmente un número real mayor que uno. Sin embargo solo necesita ser mayor de cero, y nunca debe ser igual a uno. Tal función es definida para todos los valores de x mayores que cero. Las funciones logarítmicas se abrevian como funciones log y estas funciones son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Tales funciones generalmente poseen una asíntota vertical en vez de una horizontal por el motivo de ser las inversas de la función exponencial. También siendo las funciones inversas de las funciones exponenciales, su dominio es limitado. Las funciones logarítmicas fueron introducidas más tarde debido a que se enfrentaron problemas para encontrar las funciones inversas de las funciones exponenciales. Observe el ejemplo siguiente, x = 10y, para encontrar la inversa reemplace x e y para obtener, y = 10x Como podemos observar no es posible resolver la ecuación anterior, entonces es ahí donde entra el uso de las funciones logarítmicas. Por tanto la ecuación se convertirá en,La cual puede ser resuelta utilizando la tabla log. Las funciones inversas de las funciones trigonométricas se llaman funciones trigonométricas inversas o funciones ciclométricas. Estas son el general funciones con múltiples valores. La afirmación anterior puede entenderse mejor con la ayuda de un ejemplo. Supongamos que z tiene muchos valores. Ahora la ecuación,
Por lo que no puede existir un valor único de la inversa de esta ecuación hasta que tengamos un valor principal definido para w. Estas funciones no satisfacen la definición de función inversa, ya que su rango es subconjunto del dominio de las funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas inversas se enumeran a continuación junto con sus notaciones alternativas. 1. sin-1 z arcsin z 2. cos-1 z arcos z 3. tan-1 z acrtan z 4. sec-1 z arcsec z 5. cosec-1 z acrcosec z 6. cot-1 z arccot z VIDEOS: VIDEO 1:
2.9-. Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales las sucesiones infinitas
Considere un conjunto N, una función f: X Y de la secuencia de números de N esta es conocida como función de sucesiones. El dominio de tales funciones se limita sólo a los números naturales. Las convenciones utilizadas para referirse a tales secuencias son,Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de elementos distintos que pueden ser formados como pares teniendo correspondencia uno a uno respecto al conjunto entero positivo. Los elementos son por lo general números. Un conjunto de números naturales es un buen ejemplo de sucesión infinita, N = {0, 1, 2, 3, 4…}. En términos de la notación matemática, una secuencia puede ser definida como una función sobre F U {0} ya que la función g (x) tiene una asociación uno a uno de F en F U {0}. La secuencia infinita forma una parte importante de los estudios de la ingeniería y la física moderna. Una secuencia infinita puede estar creciendo, decreciendo, o ser de origen monótona. Una sucesión creciente es aquella donde todos los elementos subsecuentes de la secuencia son mayores que el elemento que estaba ocurriendo antes que ellos en la secuencia, esto es an+1 > an para todos los valores de n. Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesión creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la secuencia es más pequeño que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n. Mientras que una secuencia infinita monótona puede ser una que esté creciendo o decreciendo. Otra categoría en la que una secuencia puede ser clasificada está basada en los límites de la secuencia, si estos se encuentran por encima o por debajo. Si existe un número M para el cual an <= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por encima. Mientras que si an >= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por debajo. También es posible añadir prefijos al nombre de la secuencia basados en los elementos de la secuencia. Si todos los elementos de la secuencia son números enteros, entonces la llamamos secuencia de números enteros. Mientras que si todos los elementos de la secuencia son polinomios la llamamos una secuencia de polinomios y así sucesivamente. También existen dos vías de secuencias infinitas o secuencia infinita-bi, la cual es una función del conjunto de todos los enteros en otro conjunto. Supongamos una función f: {1, 2, 3, 4…} {1, 2, 3, 4…} define una secuencia A donde cada ai = f(i). Tal secuencia se denominaría multiplicativa cuando, f(xy) = f(x) f(y), para todos los valores de x e y, donde x e y son co-primos. Una serie es la sumatoria de la suma de todos los elementos de una secuencia. La suma de todos los elementos de una secuencia infinita se denomina serie infinita.Que también puede ser denotado por,VIDEOS VIDEO 1:
2.10-. Función implícita
Una función f: X y es llamada función implícita, si la variable dependiente no se produce de forma explícita, en un lado de la ecuación, en términos de la variable independiente. En una función implícita, el valor de y puede ser obtenido resolviendo la ecuación en términos de x.La ecuación polinómica, conteniendo los términos tanto de x e y son muy difíciles de resolver. Si la ecuación no se resuelve para y, entonces y se llama una función implícita en términos de x, y tal ecuación se denomina función implícita. Una función implícita es generalmente de la forma,Una función implícita también se conoce como un conjunto de nivel de cualquier función en términos de dos variables. Fuera de esas dos variables, una de ellas se puede determinar con la ayuda de otra variable. Pero no existe ninguna fórmula específica para determinar una variable en términos de otra variable.Las funciones implícitas y las funciones explícitas están relacionadas entre sí con la ayuda del teorema de la función implícita. Según este teorema, si la función implícita satisface algunas de las condiciones, aunque levemente, sobre sus derivadas parciales entonces es posible resolver esta función para determinar el valor de y, al menos para un rango pequeño.Si nos fijamos en la gráfica de una función implícita, nos encontraríamos con que su gráfica se superpone con la gráfica de la función f(x) = y, localmente.Para tener una mejor comprensión, veamos el ejemplo dado a continuación,Aquí x es una función implícita en términos de y, también y es una función implícita en términos de x. Para resolver la ecuación para la variable y, la ecuación se convertiría,En la ecuación anterior, y es la función explícita de x. En el penúltimo ejemplo era fácil resolver la ecuación para y en términos de x, pero hay ocasiones en que la función dada es mucho más compleja y no se puede resolver fácilmente.Una manera más simple y conveniente para resolver tal función es utilizar el método de diferenciación. Primeramente, diferencie la función dada que producirá la derivada dy/dx ó dx/dy, dependiendo de la variable que se considere implícita. Ahora resuelva para esta derivada.Existen muchos más métodos para solucionar la función implícita, algunos de los cuales son iterativos. Aunque los métodos iterativos producen mejores resultados que los no iterativos en sus aproximaciones sucesivas, se utilizan en raras ocasiones debido a la complejidad que implica el uso de dichos métodos.Al contrastar el número de ecuaciones (m) en el sistema con el número de variables (n), se puede adquirir información básica acerca de ese conjunto de nivel.• Si n> m entonces existen infinitas soluciones del sistema de ecuaciones. Dicho sistema también se denomina indeterminado.• Si n = m, entonces tenemos una única solución a nivel local para el sistema de ecuaciones y la ecuación se puede determinar con exactitud. Esto significa que si tenemos x como la solución de la ecuación entonces no existe ninguna otra solución para la ecuación cerca de x.• Si n <m entonces no existe solución para el sistema de ecuaciones. Este sistema es también llamado sobredeterminado. VIDEOS: VIDEO 1:
Unidad 3: Limites y continuidad
3.1-. 1Limite de una sucesión
El límite de una sucesión particular es generalmente un número o un punto definido L, con la condición que todos los términos de esa sucesión particular estén muy cerca de L para grandes cifras de n. En caso de que el límite esté presente, se dice entonces que la sucesión es convergente y converge en el punto definido L. En el caso complementario, se dice que la sucesión es divergente.
Matemáticamente la definición puede ser demostrada suponiendo an} sea la sucesión y l un número real. Si por cada ε › 0 entonces encontramos m N, tal que , n N, es l y se escribe an=l. Esto se lee como: Como n tiende al infinito, tiende a l.
Ademas, si para una sucesión an se podemos encontrar un numero M positivo, tal que, | an | M n N entonces la sucesión { an } se dice que es cerrada.
Similarmente, las sucesiones pueden estar creciendo o decreciendo.
Algunas de las propiedades generales de los Límites de una Sucesión incluyen:
1).Los Límites de las sucesiones de origen convergentes son únicos.
2). Una sucesión de origen convergente es siempre cerrada y viceversa.
3). En el caso de las sucesiones {an} n 1, junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son números reales, en ese caso, la sucesión { xan + ybn }n 1 es también convergente.
4). Similarmente, si las sucesiones {an} n 1 junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son números reales, en ese caso, la sucesión { xan . ybn }n 1 es también convergente. Obtenemos,
{ an . bn }= an . bn
5). En el caso de la sucesión {an}, n 1 tiene un origen convergente con la condición que an 0 y an 0 para n 1, entonces la secuencia del tipo es también convergente.
Los límites de las sucesiones estándares pueden ser útiles para facilitar el cálculo. Algunos de estos son:
1). = 0
2). = 0 | r | < 1.
3). = 0 donde sn = a + ar + ar2 + …..+ Este límite es conocido como serie infinita geométrica con el primer término “a” y la razón común “r”.
Para captar efectivamente el concepto de las propiedades y las características de los límites de sucesiones, observemos un ejemplo en el que se requiere demostrar que para un número x, donde 0 <x <1
xn = 0
Dado que 0 < x < 1, por tanto la sucesión xn es cerrada y decreciente. De acuerdo a la segunda propiedad citada arriba, esta es convergente. Entonces,
xn = L
Por lo tanto, tenemos que demostrar L = 0
Como, xn+1 es parte de la sucesión xn , entonces, xn+1 = L
Ahora, dado que xn+1 = x xn
De las propiedades citadas,
xn+1 = x. xn
L = x. L
Ahora bien, como x 0, entonces, L =0.
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3.2-. Limite de una función de variable real
El límite de una función de variable real es un concepto importante en el cálculo. Según este, si F es la función de una variable real r, en ese caso, el límite de F como r se aproxima a x existe, si existe otro número real R entonces para un número positivo conocido , existe otro número delta, tal que | F® - N | ‹ para todo r que satisfaga | r - x | < . Esto es,
y son letras de Grecia utilizadas tradicionalmente, a las cuales se les llama como descripción de límites épsilon-delta.
Puede ser el caso cuando la función F satisface \ limita_{r\a\x} la definición en una sola dirección en la recta numérica real. Suponga que satisface la existencia de límites desde la izquierda. En ese caso, puede ser representada como
Este caso puede ser leído como ‘la existencia de límites del lado izquierdo’. Del mismo modo, los límites del lado derecho pueden ser demostrados como
Sin embargo, no se puede decir que el límite existe enteramente hasta que ambos límites de lado izquierdo y derecho persistan y se conviertan iguales.
Mientras se resuelve un problema “ límite de una función de variable real “ se debe hacer énfasis principalmente en el cálculo del rango del límite y no en identificar si el límite existe o no.
El límite de una función de variable real se puede definir en el infinito si la recta numérica es considerada extensible. Si F® es la función, entonces, el límite infinito de F se puede representar como
Existen algunas propiedades que valen la pena considerar mientras se trata con el concepto de límite de la función de variable real F:
1). El límite de F se dice que existe cuando los límites del lado derecho y del lado izquierdo existen para la función correspondiente.
2). Se dice que F es continua en un punto particular A solo si en el caso el límite F( r ) como r se mueve hacia A subsiste y es equivalente a f(A).
3). Si el límite de la función F® como r se mueve hacia A es L1 y el límite de otra función H® como r se mueve hacia A es L2, entonces, el límite de F® + H® como se mueve hacia A es L1 + L2.
4). El límite de F debe ser compatible con las operaciones aritméticas con la condicionante que el límite del lado derecho exista.
La definición y sus propiedades pueden ser más profundamente ilustradas con la ayuda de un ejemplo. Consideremos una función F® =
La función puede ser simplificada como:
F® = (r + 2) (r - 2)
(r – 2)
F® = r + 2, r 2
Es decir la línea r + 2 con el punto ( 2, 4 ) son los puntos faltantes.
Se puede observar que r = 2 no se encuentra en el dominio de F y 4 no está en el rango correspondiente. Por lo cual, al poner r cerca del 2, obligará a F hasta el punto (2, 4). Esto es,
De acuerdo a la definición, si un número real es dado, entonces se necesita encontrar otro número , tal que, < . Entonces, este puede ser probado como:
Si | r −2 | <
2+ < r < 2 -
2 - + 2< r + 2 < 2 + + 2
4 - < r + 2 < 4 +
4 - < r + 2 < 4 +
|(r + 2) - 4| <
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3.3-. Calculo de limites
Todos nosotros hemos leído en las matemáticas básicas que si el valor del denominador es cero, entonces obtendremos un valor indefinido como producto. Pero en el caso del cálculo, podemos obtener una solución aunque el valor del denominador sea cero. Para entender el concepto, mire el ejemplo dado a continuación, f(x) = x3/ x Si lo resolvemos tenemos f(x) = x2 como respuesta. El gráfico de esta función es una parábola, como se muestra debajo, Ahora bien, si x alcanza el valor de cero en algún punto entonces tenemos una salida indefinida. Utilizando el cálculo obtenemos el valor de la ecuación para un valor algo más grande y para un valor algo menor que cero. Este es el concepto detrás de los límites. El concepto de límite es que al llegar más y más cerca de un valor específico de x, el valor de la función también comienza a resolverse en torno a un valor específico. De este modo podemos calcular el valor de la función para algunos valores que están muy cerca de cero. Esto proporcionará un resultado de valor aproximado para la función dada y por tanto no obtendremos un valor indefinido como valor de salida de la función. Para el ejemplo ilustrado arriba tendríamos cero como salida si el valor del denominador es casi igual a cero. Esto es debido a que el valor de salida de la función se aproxima al valor de cero a medida que el valor de entrada de la función llega a cero. Se puede observar claramente en el gráfico de la función. Sin embargo no siempre es el caso que tanto el valor de entrada como el valor salida de la función alcancen el mismo valor. El cálculo ayuda en la determinación de la salida de una función no habiéndose dado un valor indeterminado de la función como salida. Esto hace el concepto de límite distinto de simple álgebra. No es esencial que el valor de la función sea indefinido solamente para cero. Funciones diferentes tienen valores de entrada diferentes para los cuales la función es indefinida. Por lo tanto el límite puede ser leído “se define límite como la entrada tiende a una variable que hace la función salida indefinida”. Hay ciertas reglas para los cálculos en que participan los límites. Algunas de ellas se enumeran a continuación: Considere un valor constante a, y dos límites y sea real entonces, • = + • = - • = • = * • = , la expresión anterior no es verdadera para valores negativos. • = c, esto es, el límite de un valor constante es el valor constante por sí mismo • = f(s), la expresión anterior es verdadera solamente para funciones racionales y funciones polinomiales. Es esencial que s se encuentre en el dominio de la función dada. Existen otras propiedades importantes también que sin embargo no podemos abordar aquí. Veamos ahora un ejemplo, limx2 (3×2 – 4x + 5) = limx2 (3×2) - limx2 (4x) + limx2 (5) = 3limx2 (x2) - 4limx2 (x) + limx2 (5) = 3(2)2- 4(2) + 5 = 12 – 8 + 5 = 9 VIDEOS VIDEO1:
3.4-. Propiedades de los limites
El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).
lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).
lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).
lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el punto x = a, es l m.
lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.
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3.5-. Limites laterales
El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe. De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha):o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:Si los dos límites anteriores son iguales:entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe. VIDEOS VIDEO 1:
3.6-. Limites infinitos y limites al infinito
Infinito, la palabra aparece regularmente en los conceptos Matemáticos, esta es básicamente sólo una idea y no un número. Una cantidad extremadamente grande la cual no está definida puede ser considerada como infinito. Cuando se calcula el límite de una fracción, en la que el numerador se acerca a una cantidad positiva o negativa, si el denominador se mueve hacia 0, entonces en ese caso se dice que el límite es inexistente. Con el fin de explicar el comportamiento de tales funciones, decimos queEsto indica que el límite de F® es un número desconocido de gran tamaño. Este tipo de límites es conocido como Límite Infinito. Los límites infinitos significan básicamente que el límite es imaginario, es decir, el valor de la función se puede hacer tan grande como queramos tomando los valores de r suficientemente cerca de 0. Por ejemplo: una función x = 3y tiene límites infinitos. A medida que y aumenta, 3y también aumenta y cuando y se acerca al infinito, el límite de 3y se vuelve infinito.Además la definición de límite infinito puede ser girada para un límite de un solo lado. El grafico correspondiente de la función g(x) = que también posee límites infinitos puede ser dibujada como:x −1 −0.1 −0.01 −0.001 0 g(x) 1 100 10,000 1,000,000 indefinido Un concepto casi similar es el de “limites al infinito”. En este cuando la función de una variable y aumenta ilimitadamente entonces esta es mostrada como. De manera similar, cuando y cae de manera ilimitada, entonces esta es mostrada como
El concepto principal de límites al infinito yace en dos puntos. 1). Cuando k es un número no negativo, entonces
2). Cuando k es un número no negativo, entoncesEncontrar el límite de un número racional al infinito es un caso especial en este concepto. Una regla sencilla para determinar el límite al infinito de tales números es considerando la variable, tanto en el numerador y en el denominador, que tenga el mayor exponente. Ahora bien, los límites pueden ser evaluados en base a las siguientes reglas: 1). Si el numerador con el más alto exponente va junto al denominador con el más alto exponente, en ese caso, el limite al infinito y el infinito negativo es la proporción de ambos coeficientes de mayor término. 2). Al dividir el numerador con el denominador, si el exponente resultante en la variable queda igual, en ese caso, el límite al infinito y el infinito negativo son infinitos. Si resulta impar, en ese caso, el límite al infinito es infinito y el infinito negativo es infinito negativo. Sin embargo, en ambas condiciones, el numerador debe tener el término más alto. 3). En la fracción impropia, es decir, en la cual el denominador contiene el término más alto, el límite al infinito y el infinito negativo es 0. Los límites infinitos siguen unas propiedades importantes al infinito, las cuales son: 1)En caso, que r sea grande, entonces el recíproco de r será extremadamente pequeño y en el caso que r aumente rápidamente, entonces
disminuirá en una proporción igual y eventualmente llegará cerca de 0. 2). Del mismo modo, si r se convierte grandemente negativo,
, se convertirá menos negativo y también se aproximará más a 0. 3). Además, un ejemplo similar ocurre cuando r es elevado a algún exponente, es decir,
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3.7-. Asintotas
La asíntota de una función particular es una recta tal que la distancia entre el gráfico de la función y la recta de la asíntota se aproximan a 0 a medida que estos avanzan hacia el infinito. En otras palabras, se dice que una recta es asíntota para una curva D con la condición que el límite de la distancia del punto Q sobre la curva al punto de la recta de la asíntota es 0. Las asíntotas son curvas cuya apariencia es específicamente y = f (x). Se dice que una función es una función asintótica cuando el gráfico correspondiente de esa función posee la asíntota. Adicionalmente, una función dada puede tener varias asíntotas. Los límites se utilizan principalmente para calcular la asíntota de una función. Una asíntota puede considerarse como una guía para demostrar el comportamiento de la curva en la dirección al infinito. Las Asíntotas se pueden clasificar en tres tipos; asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua. Las Asíntotas Horizontales de una función g® pueden considerarse como una recta horizontal en la cual el gráfico de una función en particular se mueve cuando r tiende a infinito. La aparición de asíntotas horizontales puede encontrarse en su mayoría en funciones fraccionarias, en las cuales, el numerador se acerca a un determinado valor positivo o negativo, mientras el denominador se mueve hacia el infinito. Por ejemplo: La recta z = y es una asíntota horizontal de la función z = g ® si Las Asíntotas Verticales son las rectas verticales hacia las cuales se mueve el gráfico de una función determinada. Estos tipos de asíntotas ocurren cuando el denominador se aproxima a 0, mientras que el numerador no lo hace. Por ejemplo: La recta z = y es una asíntota vertical de la función g ® si El gráfico de una asíntota vertical luce de esta forma: Para encontrar la asíntota vertical sencillamente se requiere la búsqueda de una condición que convierta el denominador en 0. Por otra parte, como una función trigonométrica puede acercarse al 0 en muchas ocasiones, en ese caso, puede haber varias asíntotas verticales. Las asíntotas oblicuas son las rectas no paralelas al eje x o al eje y. Debido a su apariencia inclinada, también se les conoce como asíntotas inclinadas. Las asíntotas pueden encontrarse fácilmente sin necesidad de utilizar límites. La ecuación de la forma y =mx + n representa las asíntotas oblicuas de una función particular F(x). Aquí m se calcula como m = f(x) / x Aquí a puede ser infinito negativo o puede ser igual a infinito. Similares a las funciones fraccionarias, las funciones racionales con asíntotas también se pueden tomar en cuenta. La función racional puede tener muchas asíntotas verticales acompañando a una sola horizontal o asíntota inclinada. La disponibilidad de asíntotas horizontales e inclinadas es determinada por el grado del denominador así como también por el del numerador. Las asíntotas verticales ocurren en los casos donde el valor del denominador es 0. En caso que el grado del denominador sea exactamente uno menor que el del numerador, la función racional correspondiente contiene una asíntota oblicua. Las asíntotas de una función siguen una importante propiedad que establece que la alteración de una función contiene una asíntota solo si la función correspondiente original tiene una asíntota. Por ejemplo, si la función g® contiene una asíntota de la forma r = a, entonces la función g (r - f) contendrá una asíntota de la forma r = a + f. VIDEO VIDEO 1:
3.8-. Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo
Una función continua es aquella que responde a lasvariacionesde cadaminuto en la entrada de la función por lo que muestra variación en la salida de la función. Una definición formal de una función continua es “Una función f: X → Y se dice que es continua, si la imagen inversa de todos los conjuntos abiertos en el rango de la función sonabiertos en el dominio de la función”. Para que una función continua sea continua en un punto P específico, debe cumplir tres condiciones: 1. El punto s debe estar en el dominio de la función, en otras palabras la función f(s) debe tener un valor definido. 2. Para un punto a en el dominio de la función,debe mantenerse verdadero en el dominio de la función dada3. La ecuación debe mantenerse verdadera para la función ylos puntos dados. Observe un ejemplo a continuación: g(x) = x2 – 9/x – 3 La función dada no es de naturaleza continua, porque el punto 3 no se encuentra en el dominio de la Función dada. Si la inversa de la función, en conjunto con la función misma, es continua, entonces la función es llamada función bicontinua. Sin embargo, una función también puede sercontinua en un rango de intervalo, lo que significa que la función produce un valor definido para todos los puntos en el intervalo dado. Se hace difícil encontrar talespuntos donde la función no produce ningún valor, o podemos decir cuando es discontinua en tal escenario. Una simple fórmula para el cálculo de la continuidad es encontrar los valores en los cuales la función no es continua. El teorema del valor intermedio establece que para una función f: X → Y que es continua en un intervalo [a, b], entonces la función es verdadera para a y b, y para todos los demás puntos entre a y b. Si a y b tienen signos opuestos entonces hay algún punto entre a y b tal que el valor de la función en ese punto es cero. Observe el ejemplo que se muestra a continuación: g(y) = y + Dado que se obtiene una cantidad compleja al buscar la raíz cuadrada de un número negativo, se puede concluir que la función dada tiene un valor definido para (1 – y2) cuando equivale igual o mayor que cero, lo que da x <= 1 sea definida para la función y no para un valor menor del que está definido. Una función que no es continua es llamada función discontinua. Una función puede ser discontinua en un punto o para un intervalo completo. Una función que es discontinua en un punto debe cumplir dos requisitos: • Tanto del lado izquierdo así como del derecho debe existir un límite para la función en el punto dado. • Ambos límites deben ser finitos naturales. Si la discontinuidad puede ser eliminada entonces es de primer orden, mientras que si no puede ser eliminada se conoce como discontinuidad de segundo orden. Al observar la gráfica de una función discontinua esta puede ser claramente separada del resto ya que su gráfica se suele dividir en dos partes más. Similar a una función continua, la discontinuidad puede también durar más de un intervalo finito. VIDEOS VIDEO 1:
3.9-. Tipos de discontinuidades
Discontinuidad evitable
Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:o no existe:se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:Discontinuidad esencial o no evitable
Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones: Existen los límites laterales pero no coinciden. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. No existe alguno de los límites laterales o ambos. Discontinuidad de primera especie En este tipo de discontinuidad existen tres tipos: - DE SALTO FINITO Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:De salto infinitoSi uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito: como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:Se dice que la discontinuidad es de salto infinito. DISCONTINUIDAD ASINTÓTICA Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:VIDEOS VIDEO 1:
Unidad 4: Derivadas
4.1-. Conceptos de incremento y de razón de cambio La derivada de una función
La derivada de una función es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada de la función es generalmente cero en algunos mínimos locales o máximos locales dado que en esa posición la función no notaincrementos hacia una dirección en particular.En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada de la función.Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la derivada de la función de un vector o para una función con múltiples variables. El símbolo griego delta, representado como un triángulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una variable. y significaría un cambio en el valor de y. La pendiente de una línea recta se puede calcular comoLa expresión anterior se denomina como cociente de la diferencia. Esto se debe a que representa la diferencia entre dos cocientes. La tasa o razón de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio constante es aquella que no cambia durante un período de tiempo. Supongamos que la tasa de cambio del número de migrantes de los años 1978 a 1988 es 2.16 mientras que es de 6.9 desde el año 1988 a 2008. Así podemos notar que en el ejemplo anterior la tasa de cambio no es constante. En tal situación se puede calcular una tasa de cambio promedio en un intervalo. Una fórmula general para representar una tasa de cambio promedio en un intervalo sería,Aquí y es una función en términos de t, representando la ecuación y = f (t). El intervalo es considerado entre t = a y t = b. Si la tasa de cambio es constante durante todos los intervalos, entonces tal función es llamada función lineal. Si la tasa de cambio de una función se calcula sobre un tipo de intervalo o en un punto específico, entonces la llamamos tasa de cambio instantánea. La tasa de cambio de una función g en un punto x, llamada la razón o tasa instantánea de cambio en x es el límite de la tasa promedio de variación de g a lo largo de intervalos cada vez más pequeños alrededor de x. Como sabemos la variación en la tasa es un cociente de la diferencia, la tasa instantánea de cambio será el límite de esos cocientes. La tasa de cambio instantánea es popularmente conocida por el nombre de derivada. No es posible calcular la derivada de una función en algún instante determinado, por tanto la derivada de una función se calcula sobre un intervalo, aunque este intervalo sea muy pequeño. Entonces el cálculo de la derivada de una función también se puede hacer mediante el cálculo de la tasa promedio de cambio en intervalos más cortos. Considere a el tamaño del intervalo, entonces la tasa promedio de variación en el intervalo x + a y x será, f(x + h) – f(x)/ (x + h) – x que puede ser escrito como, f(x + h) – f(x)/ h Ahora bien, para determinar el valor exacto de la derivada, tome el límite de la función como h. Por lo cual la derivada de la función se calcula como, Lim f(x + h) – f(x)/ h h → 0 VIDEOS VIDEO 1:
4.2-. La interpretación geométrica de la derivada
Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida que la entrada de la función varía. Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta varía en cada punto. Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la función. La noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representación geométrica, y la otra como la tasa de variación, que es la representación física. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la función geométrica. Supongamos que una función f(x) = x2. La gráfica de la función luciría de la siguiente formaLa curva de color azul representa el gráfico de la función. Tome dos puntos en el eje x, supongamos x y x0 como en el gráfico de arriba. Determine el valor de la función en esos valores de x. Ahora trace una línea que pase por esos puntos sobre la curva de la función para obtener una línea recta. La línea roja en el gráfico anterior representa esa línea. A medida que muevo los puntos sobre el eje x más cerca uno del otro conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a través de la curva de la función. En el instante que x = x0, la gráfica se vería así,En tal situación, la recta tocaría el grafico en un solo punto y por tanto tendría la misma pendiente que la pendiente de la gráfica en ese punto. Esta recta se conoce como la tangente de la función en ese punto. Determinar la pendiente de la tangente en ese punto te extraerá la derivada de la función en ese punto. La pendiente de la recta que posee los puntos(x, f(x)) y (x0, f(x0)) será,Aquí el valor de x no debe ser igual a x0. Mientras que la pendiente de la tangente, lo que es igual, la derivada de la función, donde tenemos que x = x0 es,Los valores de m y m(x) son casi iguales cuando los puntos x y x0 están muy cerca uno del otro.Vale la pena saber que en ciertos lugares es mucho más fácil calcular el límite cuando el valor de la variable es casi igual a cero. Podemos hacerlo mediante la traslación a lo largo del eje x. En efecto, estableciendo el valor de h cuando x – x0 obtenemos,Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la curva y la recta tangente pueden simplemente compartir este punto en común.Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la recta de tangencia deja la curva en una mitad donde se separa del plano.Sin embargo, la pendiente de la tangente o la derivada de la función es simplemente una estimación lineal de la curva en un punto.VIDEOSVIDEO 1:
4.3-. Concepto de diferencial e interpretación geométrica de las diferenciales
En los enfoques tradicionales para el cálculo, las diferenciales (Por ejemplo, dx, dy, dt etc ..) se interpretan como infinitesimales. A pesar de los infinitesimales son difíciles de dar una definición precisa, hay varias maneras de hacer sentido de ellos rigurosamente.
La diferencial es otro nombre para el Matriz Jacobiana de derivadas parciales de una función de Rn a Rm (Especialmente cuando este matriz es visto como un lineal).
De manera más general, el diferencial o pushforward se refiere a la derivada de un mapa entre variedades diferenciables y las operaciones pushforward lo define. La diferencia también se utiliza para definir el concepto dual de retroceso.
Cálculo estocástico proporciona una noción de diferencial estocástica y un cálculo correspondientes para procesos estocásticos.
El integrador en un Integral de Stieltjes se representa como el diferencial de una función. Formalmente, la diferencia de que aparecen en la integral se comporta exactamente como un diferencial: así, la integración por sustitución y integración por partes fórmulas para la integral de Stieltjes corresponden, respectivamente, a la regla de la cadena y producto de la regla de la diferencia.
Geometria Diferencial
La noción de una diferencial que motiva a varios conceptos en geometría diferencial (Y topología diferencial).
Formas diferenciales proporcionan un marco que da cabida a la multiplicación y diferenciación de las diferencias.
La derivada exterior es una noción de la diferenciación de las formas diferenciales que generaliza el diferencial de una función (que es un 1-forma diferencial).
Retroceso es, en particular, un nombre geométricas para la regla de la cadena para componer un mapa entre los colectores con una forma diferencial en el objetivo múltiple.
Covariante derivados o las diferencias proporcionar una idea general para la diferenciación de campos vectoriales y campos tensoriales en una variedad, o, más generalmente secciones, de un fibrado vectorial: Véase Conexión (fibrado vectorial). En última instancia, conduce al concepto general de una conexión.
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4.4-. Propiedades de la derivada
Las derivadas forman una parte importante del cálculo.
Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función.
En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es una función de la entrada de la función.
Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.
Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.
Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:
1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.
2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.
3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.
4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.
5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.
6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.
7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.
8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.
9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,
h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)
Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,
La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia,
d(5x4)/dx = 5[d(x4)/dx]
= 5(4x4−1)
= 5(4x3)
= 204x3
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4.5-. Regla de la cadena
Una función compuesta es una función que implica la imposición de una función a otra función. Sea f(x) una función que es diferenciable sea g(x) cualquier otra función que también es diferenciable.
Entonces, al imponer f(x) a g(x) se produce una nueva función h(x), la cual es una combinación de las dos funciones diferenciables.
h(x) = f(x) 0 g(x)
Considere una función, para la cual debe encontrar la derivada, y(x) = (x2 + 4x +5)
Sería bastante fácil de encontrar.
Pero si fuese encontrar la derivada de una función como la siguiente, y(x) = (x3 + 4x +5)60 entonces sería un problema, a pesar de que sus derivadas pueden ser despejadas, pero si existiera una regla que hiciera el problema fácil de resolver entonces habría sido mucho más simple.
Para resolver este problema de encontrar las derivadas de una función compuesta, Leibniz introdujo la regla de la cadena, que tenía la intención de encontrar la derivada de funciones compuestas.
De acuerdo con la regla de la cadena, las derivadas pueden ser consideradas como fracciones a fin de resolver el problema como,
Así que la regla de la cadena para la diferenciación de una función compuesta es la siguiente,
Vamos a tratar primero de resolver el ejemplo que se ilustra arriba sin la regla de la cadena y después utilizando la regla de la cadena para entender la diferencia entre ambos métodos.
d (x2 + 4x +5)2 / dx
= d(x4+ 8x32 + 26x2 + 40x +25) /dx
= 4x3 + 24 x2 + 52x + 40
La solución anterior fue realizada sin utilizar la regla de la cadena.
Ahora intentemos solucionarla con la regla de la cadena,
d(x2 + 4x +5)2/ dx
= 2(x2 + 4x +5) * (2x + 4)
= 4x3 + 24 x2 + 52x + 40
Como se puede observar se obtiene la misma respuesta, pero requiere un esfuerzo mucho menor debido a la reducción del cálculo envuelto en el enfoque convencional.
Una función valorada real que tiene sólo una variable es la forma más fácil de la regla de la cadena, la cual establece que f(x) es una función que puede ser diferenciada en un punto a y sea g(x) cualquier otra función que puede ser diferenciada a f(a).
Bajo esta situación de f(x) 0 g(x) es una función compuesta que puede ser diferenciada en a.
En los lugares donde las derivadas se calculan directamente, es decir, donde no existe una fórmula directa para el cálculo de derivadas, la regla de la cadena se puede aplicar con el propósito de hacer un cálculo fácil.
La regla de la cadena puede aplicarse convenientemente a una función compuesta donde muchas funciones se imponen sobre otras.
Supongamos que f(x), g(x) y h(x) son tres funciones diferenciables y una función compuesta a partir de ellas es F(x) = f(x) 0 g(x) 0 h(x) tomadas en el mismo el orden.
En tal situación, la regla de la cadena se puede aplicar primero calculando las derivadas de f(x) y g (x) 0 h (x) y luego para g(x) y h(x) y, por último, se combinan los resultados. Esto se denomina cascada de la regla de la cadena para funciones compuestas con múltiples funciones.
Algunas de las otras reglas, que se utilizan de forma independiente para los propósitos de cálculo, son en realidad procedentes de la regla de la cadena; entre ellas una notable es la regla exponencial.
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4.6-. Formulas de derivación y formulas de diferenciación.
Formulas de Derivación
I dc = 0
La derivada de una constante es cero
II dx = 1
La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.
III d ( u + v – w ) = du + dv - dw
La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones
IV d ( cv ) =c. dv
La derivada del producto de una constante por una funcion es igual al producto de la constante por la derivada de la funcion
V d (uv) = u dv + v du
La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de la primera funcion por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera.
VI d (un) = nun-1 du
La derivada de la potencia de una funcion de exponente constante es igual al producto del exponente por la funcion elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la funcion.
VIa d (xn ) = nxn - 1
Cuando v = x se convierte en la expresion anterior
VII d ( uv ) = v.du - u.dv.
v2 La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador
VIIa d ( u/c ) = du/ c
La derivada del cociente de una funcion dividida por una constante es igual a la derivada de la funcion dividida por la constante
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Unidad 5: Aplicaciones de la derivada
5.1-. Recta tangente y recta normal a una curva en un punto Curvas ortogonales.
Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.
Diferentes soluciones se pueden utilizar para encontrar la ecuación de la tangente de cualquier curva y = g(x) en los puntos x1, y1. La pendiente de la tangente a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 está dada por g‘(x1),es decir, el valor de la primera derivada de la función en x1, y1.
La ecuación requerida para esta tangente se puede encontrar en la ecuación de la recta y-y1 = m (x - x1).
Así, la ecuación de la tangente en x1, y1 se puede dar como y - y1 = g (x1) (x - x1).
Ahora bien, dado que respecto ala normalla tangente es perpendicular , su pendiente es el recíproco negativo de la pendiente de la tangente así como la pendiente de dos rectas perpendiculares son recíprocas negativas una dela otra.
Por tanto, la pendiente de la normal a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 es −1/g’(x1), donde g’(x1) ≠ 0.
Por lo tanto, la ecuación de la normal a la curva es dada como y – y1 = - (1/g’(x1)) (x – x1).
Si una recta tangente a la curva y = g(x) forma un ángulo Ө con el eje x en una dirección positiva, entonces la pendiente de la tangentes es igual a tan Ө.
Por tanto, la ecuación de la tangente puede ser escrita también como y – y1 = tan Ө (x – x1).
El concepto de tangente y normal contiene dos casos especiales:
1). Si la pendiente de la recta tangente es 0, entonces la recta tangente es paralela al eje x.
En tales casos, la ecuación de la tangente en el punto x1, y1 es y = y1.
2). Si la tangente es perpendicular al eje x, entonces en ese caso, la pendiente tiende al infinito y la recta tangente es paralela al eje y.
La ecuación se convierte entonces en x = x1.
Otro término importante asociado con el concepto de curva es el de las curvas ortogonales.
Cuando dos o más curvas se intersectan perpendicularmente entre sí, entonces se les conoce como curvas ortogonales.
Las tangentes de las curvas ortogonales son perpendiculares entre sí.
Además, el producto de sus pendientes es −1.
Estas propiedades pueden ser muy útiles para la determinación de curvas ortogonales.
Por ejemplo: Supongamos la recta y = (1 + √2 ) x y la recta y = (1 - √2 ) x
Encuentre la pendiente de y = (1 +√2 )x, obtenemos
dy/dx = d((1 +√2 )x) / dx
= 1 + √2
Del mismo modo, para la recta y = (1 -√2 )x, la pendiente resulta ser 1 - √2
Multiplicando la pendiente de estas dos rectas, obtenemos
m1.m2 = (1 +√2 ). (1 - √2 )
m1.m2 = - 1
Por tanto, estas dos rectas se dice que son ortogonales, es decir, se intersectan entre sí en ángulo de 90 °.
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5.2-. Teorema de Rolle teorema de Lagrange o teorema del valor medio del calculo diferencial.
El Teorema de Rolle se considera un caso especial del teorema del valor medio.
Según este teorema, si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto en el intervalo abierto (a, b) tal que la pendiente de la tangente en ese punto es igual a
De acuerdo con la definición geométrica, si f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), la pendiente de la recta que une (a, f(a)) y (b, f(b)) es
y f'(c) es la pendiente de la tangente (c, f(c)) para la gráfica de y = f(x).
Entonces el teorema de valor medio dice que si la curva es continua y = f(x) tiene una tangente en cada punto (x, f(x)) para a<x<b, entonces para algún punto (c, f©), donde a<c<b, la tangente a la curva es paralela a la línea que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) en la curva.
En este caso, siempre podemos encontrar el punto c \ en (a, b) tal que
= f'(c).
Al relacionar el teorema del valor medio con el concepto de movimiento, se puede ir profundamente.
Supongamos que una motocicleta hace un viaje a una velocidad de 50 km en una hora.
Por lo tanto, su razón promedio en ese instante es 50km/h.
A fin de mantener una velocidad constante de 50km/h, la motocicleta tiene que viajar a 50 km / h durante todo el tiempo completo o, en caso de que la motocicleta frene en ciertos momentos, entonces debe llenar este vacío acelerando en algunos momentos para mantener la razón de 50km/h durante todo el viaje.
Aquí el Teorema del valor medio puede afirmar que durante todo el recorrido, puede haber llegado un punto donde la velocidad real de la motocicleta, coincide con la velocidad media, es decir 50 km / h.
Este teorema, conocido también como el Teorema de Lagrange, tiene una importancia extrema en el cálculo y puede ser útil para la solución de numerosos problemas.
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5.3-. Función creciente y Función decreciente, Máximos y Mínimos de una función, Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos, Concavidades y puntos de inflexión, Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
Función creciente y función decreciente
Máximos y mínimos de una función
Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos
Concavidades y puntos de inflexión
Criterios de la derivada de segundo orden para máximos y mínimos
Hay ciertas características, o establecidos simplemente como términos, que pueden ser encontrados en las derivadas.
Estos son considerados como las aplicaciones de las derivadas.
Algunas de ellas incluyen:
Función creciente y función decreciente
Máximos y mínimos de una función
Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos
Concavidades y puntos de inflexión
Criterios de la derivada de segundo orden para máximos y mínimos
Función creciente y función decreciente: Una de las principales aplicaciones de las derivadas es determinar si la función f está creciendo o decreciendo en un intervalo determinado.
Esto puede encontrarse mediante tomar una único derivada de la función.
Si resulta ser mayor que 0 en cada punto del intervalo dado, entonces es una función creciente.
Por otro lado, si resulta inferior a 0 entonces la función será una función decreciente.
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5.4-. Análisis de la variación de funciones.
Cuando la variación total de cualquier función particular es finita, en ese caso, esa función se conoce como Función de Variación Acotada, que puede ser abreviada como función BV (Bounded Variation por sus siglas en inglés). El gráfico correspondiente de la función BV se dice entonces que se comporta bien en un sentido preciso. La función BV tiene amplias aplicaciones en el campo de las matemáticas, y es utilizada en algunos de los teoremas más importantes, tal como son los Teoremas de Fourier. En el caso de la funciones continuas que contienen sólo una variable, la variación acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo del eje y. Otra clasificación establece que las funciones de variación acotada, tienen la propiedad de intervalo cerrado, son las funciones que se pueden establecer como la diferencia entre dos monótonas acotadas.
La variación Acotada de una función determinada en el intervalo [x, y] puede ser establecida como
Donde S es el conjunto acotado
La variación resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S puede ser llamado también como Variación Total o sólo la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x).
Existen ciertos teoremas que pueden ser útiles para el análisis de la variación de la función:
1). Si en el conjunto [x, y], la función está incrementando, en ese caso, es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y consecuentemente V [g [x, y]] = g(y) – g(x).
2). Si en el conjunto [x, y] la función es constante, entonces es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y entonces V [g [x, y]] = 0.
Por ejemplo, la función g(r) = c es una función de variación acotada constante en el intervalo [x, y]. | g (ri) – g (ri - 1)| = 0 por cada partición del conjunto [a, b]. Por tanto, V (g, [x, y]) = 0.
3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de variación acotada y c es constante, en ese caso
a). g es una función de variación acotada en el intervalo [x, y].
b). g es una función de variación acotada en cada subintervalo cerrado del intervalo [x, y].
c). cg es también una función BV en el conjunto [x, y].
d). g + f y g –f son BV en el conjunto [x, y]
e). gf es también BV en el conjunto [x, y].
Algunos datos más útiles acerca de estas funciones especiales se pueden establecer como que una función de variación acotada se puede expresar también por la divergencia de 2 funciones crecientes.
Del mismo modo, todas las funciones totalmente continuas son de naturaleza BV, sin embargo, no es necesario que todas las funciones continuas BV deban ser totalmente continuas.
La función f puede ser considerada como BV en el conjunto [x, y] si, la derivada de f se encuentra acotada en [x, y]. Además, cuando dos funciones variación acotada se multiplican entre sí, entonces la resultante es también una función de variación acotada.
Hay algunas propiedades básicas que son seguidas por las Funciones de Variación Acotada:
1) Las Funciones de Variación Acotada pueden tener discontinuidad de primer tipo, es decir, discontinuidad de salto.
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